随机微分方程（SDE）

参考文献

基本上参考 Bernt Øksendal 的《Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications》。

加上一些个人的理解，和测度论上的一些补充。也许会简单过一些习题。

这里主要是速通，不会太过深入某些定理的证明细节。

前置：基本的概率论，实分析，最好有测度论知识。

1. 测度概率论和随机过程基础 (Chapter 2 of Øksendal)

在正式进入随机微分方程之前，先简单回顾一下测度论和概率论的基础知识。

一个代数 \(\mathcal{A}\) 是定义在集合 \(\Omega\) 上的子集族，满足：

1. \(\Omega \in \mathcal{A}\)；
2. 如果 \(A \in \mathcal{A}\)，则 \(A^c \in \mathcal{A}\)；
3. 如果 \(A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal{A}\)，则 \(\bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}\)。

一个 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{F}\) 是定义在集合 \(\Omega\) 上的子集族，满足： 1. \(\Omega \in \mathcal{F}\)； 2. 如果 \(A \in \mathcal{F}\)，则 \(A^c \in \mathcal{F}\)； 3. 如果 \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}\)，则 \(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}\)。（补集一下自然也对可列交成立）

一个测度是定义在 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{F}\) 上的函数 \(\mu: \mathcal{F} \to [0, \infty]\)，满足： 1. \(\mu(\emptyset) = 0\)； 2. 如果 \(\{A_i\}_{i=1}^{\infty}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的可列不交集族，则 \(\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)\)。

我们可以证明测度满足以下几个有用的性质： 1. 单调性：如果 \(A, B \in \mathcal{F}\) 且 \(A \subseteq B\)，则 \(\mu(A) \leq \mu(B)\)。 2. 次可加性：如果 \(\{A_i\}_{i=1}^{\infty}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的任意集合族，则 \(\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)\)。 3. 上连续性：如果 \(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的递增集合族，即 \(A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots\)，则 \(\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n)\)。 4. 下连续性：如果 \(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的递减集合族，即 \(A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots\)，且 \(\mu(A_1) < \infty\)，则 \(\mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n)\)。

给定一族子集 \(\mathcal{U} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\)，存在唯一的最小 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{H}_\mathcal{U}\)，使得 \(\mathcal{U} \subseteq \mathcal{H}_\mathcal{U}\)，称为由 \(\mathcal{U}\) 生成的 \(\sigma\)-代数。由此，我们可以定义 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}\) 为 拓扑空间 \(\Omega\) 的所有开集生成的 \(\sigma\)-代数。

一个概率空间是一个三元组 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)，其中 \(\Omega\) 是样本空间，\(\mathcal{F}\) 是定义在 \(\Omega\) 上的 \(\sigma\)-代数，\(P\) 是定义在 \(\mathcal{F}\) 上的概率测度，满足 \(P(\Omega) = 1\)。如果 \(\mathcal{F}\) 包含所有\(P\)-外测度零的子集 \(G \subseteq \Omega\)，即 \(\inf{ P(A) : A \in \mathcal{F}, G \subseteq A } = 0\) ，则称概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 是完备的。

给定一个概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)，一个函数是\(\mathcal{F}\)-可测的，如果对于所有的 Borel 集合 \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\)，有 \(X^{-1}(B) \in \mathcal{F}\)。随机变量是定义在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的 \(\mathcal{F}\)-可测函数，一般取值在 \(\mathbb{R}^n\) 上。

反过来，给定一个函数 \(X: \Omega \to \mathbb{R}^n\)，定义由 \(\Omega\) 生成的 \(\sigma\)-代数为 \(\sigma(X) = \{X^{-1}(B) : B \in \mathcal{B}\}\)。 其中 \(\mathcal{B}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的 Borel \(\sigma\)-代数 （或写作 \(\mathcal{H}_X\)）。同时还引导一个 \(\mathbb{R}^n\) 上的测度 \(\mu_X\)，定义为 \(\mu_X(B) = P(X^{-1}(B))\)，称为 \(X\) 的分布（或诱导测度），又写作 \(\mathrm{Law}(X)\)。我们说随机变量 \(X\) 服从分布 \(\mu_X\)，记作 \(X \sim \mu_X\)。

Doob-Dynkin 引理

设 \(X: \Omega \to \mathbb{R}^n\) 和 \(Y: \Omega \to \mathbb{R}^n\) 是两个随机变量，则存在一个 Borel 可测函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\)，使得 \(Y = f(X)\) 当且仅当 \(\sigma(Y) \subseteq \sigma(X)\)（\(Y\) 是 \(\mathcal{\mathcal{H}}_X\)-可测的）。

证明：

(\(\Rightarrow\)) 如果存在 Borel 可测函数 \(f\) 使得 \(Y = f(X)\)，则对于任意的 Borel 集合 \(B \in \mathcal{B}\)，\(Y^{-1}(B) = X^{-1}(f^{-1}(B)).\) 由于 \(f\) 是 Borel 可测的，\(f^{-1}(B)\) 也是 Borel 集合，因此 \(Y^{-1}(B) \in \sigma(X)\)，即 \(\sigma(Y) \subseteq \sigma(X)\)。

(\(\Leftarrow\)) 如果 \(Y = \mathbf{1}_A\) 是集合 \(A \in \sigma(X)\) 的指示函数，则存在 Borel 集合 \(B \in \mathcal{B}\)，使得 \(A = X^{-1}(B)\)。定义函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 为 \(f(x) = \mathbf{1}_B(x)\)，则 \(Y(\omega) = f(X(\omega))\) 对所有 \(\omega \in \Omega\) 成立。然后可以将该结论推广到简单函数 \(Y = \sum a_i \mathbf{1}_{A_i}\)，其中 \(A_i \in \sigma(X)\)，再通过测度论里的套路构造逐点极限收敛序列\(Y_k\)，推广到非负的随机变量 \(Y\)，最后正负分解推广到任意随机变量 \(Y\)。

这个引理的意义在于，它告诉 \(Y\) 是否可以通过 \(X\) 来表示，取决于 \(Y\) 的信息（引导的测度）是否包含在 \(X\) 的信息中。

期望

设 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 是一个概率空间，\(X: \Omega \to \mathbb{R}^n\) 是定义在该空间上的随机变量。\(X\) 的期望值（或数学期望）定义为 \[ E[X] = \int_{\Omega} X(\omega) dP(\omega), \] 前提是 \(\int_{\Omega} \|X(\omega)\| dP(\omega) < \infty\)，即绝对可积。

一般地，如果 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是一个 Borel 可测函数，且 \(E[|f(X)|] < \infty\)，则 \(f(X)\) 的期望值定义为 \[ E[f(X)] = \int_{\Omega} f(X(\omega)) dP(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) d\mu_X(x), \]

特别地，随机变量 \(X\) 的 \(n\) 阶矩定义为 \[ E[X^n] = \int_{\Omega} X(\omega)^n dP(\omega), \]

\(L^p\) 空间

设 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 是一个概率空间，\(p\in [1,\infty)\)。我们定义随机变量 \(X:\Omega \to \mathbb{R}^n\) 的 \(L^p\) 范数为 \[ \|X\|_p = \|X\|_{L^{p}(P)}= \left( E[\|X\|^p] \right)^{1/p} = \left( \int_{\Omega} \|X(\omega)\|^p dP(\omega) \right)^{1/p}, \] 如果 \(p=\infty\)，则定义为 \[ \|X\|_\infty = \|X\|_{L^{\infty}(P)}= \inf \{ N \geq 0 : \|X(\omega)\| \leq N \text{ a.s.} \}. \] 我们定义 \(L^p\) 空间为 \[ L^p(P) = L^p(\Omega) = \{ X: \Omega \to \mathbb{R}^n ; X \text{ 是 } \mathcal{F}\text{-可测的且 } \|X\|_p < \infty \}. \]

\(L^p\) 空间配备范数 \(\|\cdot\|_p\) 后是一个 Banach 空间。当 \(p=2\) 时，\(L^2\) 空间是一个 Hilbert 空间，内积定义为 \[ \langle X, Y \rangle = E[X \cdot Y] = \int_{\Omega} X(\omega) \cdot Y(\omega) dP(\omega). \]

独立与条件期望

两个集合 \(A, B \in \mathcal{F}\) 称为独立的，如果 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)。一般的，一个集合族 \(\{A_i\}_{i \in I} \subseteq \mathcal{F}\) 称为相互独立的，如果对于任意有限子集 \(J \subseteq I\)，有 \[ P\left( \bigcap_{j \in J} A_j \right) = \prod_{j \in J} P(A_j). \] 随机变量 \(X: \Omega \to \mathbb{R}^n\) 和 \(Y: \Omega \to \mathbb{R}^m\) 称为独立的，如果它们引导的 \(\sigma\)-代数 \(\sigma(X)\) 和 \(\sigma(Y)\) 独立。我们也同时考虑一个随机变量 \(X\) 和一个 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}\) 的独立性，定义为 \(\sigma(X)\) 和 \(\mathcal{G}\) 独立。

容易验证，若 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则 \(E[XY] = E[X]E[Y]\)。证明是考虑简单函数（随机变量）。

设 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 是一个概率空间，\(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}\) 是 \(\sigma\)-代数，\(X: \Omega \to \mathbb{R}^n\) 是一个随机变量，且 \(E[\|X\|] < \infty\)。则条件期望 \(E[X | \mathcal{G}]\) 定义为满足以下性质的 \(\mathcal{G}\)-可测随机变量： 1. \(E[X | \mathcal{G}]\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的； 2. 对于所有 \(A \in \mathcal{G}\)，有 \(E[X \mathbf{1}_A] = E[E[X | \mathcal{G}] \mathbf{1}_A]\)。换言之， \[ \int_{A} X(\omega) dP(\omega) = \int_{A} E[X | \mathcal{G}](\omega) dP(\omega). \] 条件期望的存在性和唯一性（几乎处处相等意义下）可以通过 Radon-Nikodym 定理来证明。

条件期望的一些重要性质包括： 1. 线性：对于任意的随机变量 \(X, Y\) 和标量 \(a, b \in \mathbb{R}\)，有 \[ E[aX + bY | \mathcal{G}] = aE[X | \mathcal{G}] + bE[Y | \mathcal{G}]. \] 2. 全期望公式：\(E[E[X | \mathcal{G}]] = E[X]\)。 3. 如果 \(X\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的，则 \(E[X | \mathcal{G}] = X\) 几乎处处成立。 4. 如果 \(X\) 独立于 \(\mathcal{G}\)，则 \(E[X | \mathcal{G}] = E[X]\) 几乎处处成立。

随机过程

一个随机过程是定义在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的随机变量族 \(\{X_t : t \in T\}\)，其中 \(T\) 是一个索引集，通常取为时间参数（如 \(T = [0, \infty)\) 或 \(T = \mathbb{N}\)）。对于每个固定的 \(\omega \in \Omega\)，函数 \(t \mapsto X_t(\omega)\) 称为该随机过程的一个样本路径。一个随机过程也可以被视为一个映射 \(X: \Omega \times T \to \mathbb{R}^n\)，满足对于每个固定的 \(t \in T\)，\(X_t(\cdot)\) 是一个随机变量（\(\mathcal{F}\)-可测的）。这样考虑是因为我们经常需要 \(X\) 是联合可测的，即 \(X\) 作为 \(\Omega \times T\) 上的函数是可测的。

Q: 一个联合可测的随机过程，和一个只对 \(t\) 可测的随机过程，有什么区别？和一个只有\(X_t\) 可测的随机过程，有什么区别？

A: 对 \(t\) 可测的随机过程，意味着对于每个固定的 \(\omega\)，函数 \(t \mapsto X_t(\omega)\) 是可测的。但是，对于联合可测的随机过程，我们可以应用 Fubini 定理，这说明 \(I(\omega) = \int_{[0,r]} X_t(\omega) dt\) 也是一个随机变量（\(\mathcal{F}\)-可测的）。而仅仅对 \(t\) 可测的随机过程，不能保证这一点。

我们可以将 \(\omega\) 视同于路径 \(t \mapsto X_t(\omega)\)，从而将 \(\Omega\) 视作所有从 \(T\) 到 \(\mathbb R^n\) 的函数空间 \(\tilde \Omega = (\mathbb R^n)^T\) 上的一个子集。

定义在 \(\tilde \Omega\) 上的自然 \(\sigma\)-代数为 \(\tilde{\mathcal{F}}\)，由所有形如 \(\mathbb W=\{\tilde \omega \in \tilde \Omega : \tilde \omega(t_1) \in B_1, \ldots, \tilde \omega(t_k) \in B_k\}\) 的集合生成，其中 \(t_i \in T\)，\(B_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\)。称为柱集（cylinder sets）。这个代数记作 \(\mathcal{B}(\mathbb W)\)。（注意这个实际上包含了可数点，这里的有限 \(k\) 可以加强为 \(1\)，但是实际应用中有限比较方便）

对于连续函数空间，这个 \(\sigma\)-代数恰好等于由一致收敛拓扑诱导的 Borel \(\sigma\)-代数。（因为连续函数的上下极限可以只考虑稠密可数的有理数点）

对于随机过程 \(X: \Omega \times T \to \mathbb{R}^n\)，我们可以定义映射 \(\pi: \Omega \to \tilde \Omega\)，使得对于每个 \(\omega \in \Omega\)，\(\pi(\omega)\) 是路径 \(t \mapsto X_t(\omega)\)。然后，我们可以通过 \(\pi\) 将概率测度 \(P\) 从 \(\Omega\) 推到 \(\tilde \Omega\) 上，得到测度 \(\tilde P\)，定义为对于所有 \(A \in \tilde{\mathcal{F}}\)， \[ \tilde P(A) = P(\pi^{-1}(A)). \]

这样，我们就得到了一个新的概率空间 \((\tilde \Omega, \tilde{\mathcal{F}}, \tilde P)\)，其中 \(\tilde{\mathcal{F}}\) 是 \(\tilde \Omega\) 上的 \(\sigma\)-代数，\(\tilde P\) 是定义在 \(\tilde{\mathcal{F}}\) 上的概率测度。

这样，随机过程 \(X\) 可以被视为定义在路径空间 \((\tilde \Omega = (\mathbb R^n)^{T}, \tilde{\mathcal{F}} = \mathcal{B}(\mathbb W), \tilde P)\) 上的路径概率测度 \(\tilde P\)。

现在考虑从有限观测点出发，构造随机过程。

Kolmogorov 扩展定理（Kolmogorov Extension Theorem）

观测 \(k\in \mathbb{N}\) 次，假定存在 \(\nu_{t_1, t_2, \ldots, t_k}\) 是 \(\mathbb{R}^{nk}\) 上的概率测度。

满足一致性条件：对于 \(\forall k \in \mathbb{N},t_1, t_2, \ldots, t_k \in T\)，以及任意的 Borel 集合 \(B_1, B_2, \ldots, B_k \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\)，有 \[ \nu_{t_1, t_2, \ldots, t_k}(B_1 \times B_2 \times \ldots \times B_k) = \nu_{t_1, t_2, \ldots, t_k, t_{k+1}}(B_1 \times B_2 \times \ldots \times B_k \times \mathbb{R}^n). \]

那么存在 一个随机过程 \(\{X_t\}\)，定义在某个概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上，使得对于任意的 \(k \in \mathbb{N}\) 和 \(t_1, t_2, \ldots, t_k \in T\)，随机变量 \((X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k})\) 的分布为 \(\nu_{t_1, t_2, \ldots, t_k}\)。换言之，对任意 Borel 集合 \(B_1, B_2, \ldots, B_k \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\)，有 \[ P(X_{t_1} \in B_1, X_{t_2} \in B_2, \ldots, X_{t_k} \in B_k) = \nu_{t_1, t_2, \ldots, t_k}(B_1 \times B_2 \times \ldots \times B_k). \]

注意，这个定理并没有保证样本路径的正则性（如连续性或可测性）。它仅仅保证了存在一个随机过程，其有限维分布与给定的一致性条件相符。也就是说目前的 \(\Omega\) 只能视作 \((\mathbb R^n)^T\)。

为了得到具有更好路径性质的随机过程，我们需要以下定理。

Kolmogorov 连续性定理（Kolmogorov Continuity Theorem）

设 \(\{X_t : t \in [0, T]\}\) 是定义在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的随机过程。假设存在常数 \(\alpha, \beta, C > 0\)，使得对于所有的 \(s, t \in [0, T]\)，有 \[ E[\|X_t - X_s\|^\alpha] \leq C |t - s|^{1 + \beta}. \] 那么存在一个修改版本 \(\{\tilde{X}_t : t \in [0, T]\}\)，使得对于几乎所有的 \(\omega \in \Omega\)，路径 \(t \mapsto \tilde{X}_t(\omega)\) 是 Hölder 连续的，指数为 \(\gamma\)，其中 \(0 < \gamma < \frac{\beta}{\alpha}\)。也就是说，存在随机变量 \(K(\omega)\)，使得对于所有的 \(s, t \in [0, T]\)，有 \[ \|\tilde{X}_t(\omega) - \tilde{X}_s(\omega)\| \leq K(\omega) |t - s|^{\gamma}. \]

证明：

考虑所有二进位网格点 \(\mathcal{D}_n = \{ \frac{k}{2^n} : k = 0, 1, \dots, 2^n \}\) 上的随机变量 \(X_t\)。利用假设的矩不等式与切比雪夫不等式 \[ P\left( |X_{\frac{k}{2^n}} - X_{\frac{k-1}{2^n}}| > \epsilon \right) \le \frac{E[|X_{\frac{k}{2^n}} - X_{\frac{k-1}{2^n}}|^\alpha]}{\epsilon^\alpha} \le \frac{C (2^{-n})^{1+\beta}}{\epsilon^\alpha} \] \(M_n = \max_{1 \le k \le 2^n} |X_{\frac{k}{2^n}} - X_{\frac{k-1}{2^n}}|\), 则 \[ P(M_n > \epsilon) \le \sum_{k=1}^{2^n} P\left( |X_{\frac{k}{2^n}} - X_{\frac{k-1}{2^n}}| > \epsilon \right) \le \frac{C 2^{-n\beta}}{\epsilon^\alpha} \] 取 \(\epsilon = 2^{-n\gamma}\)，其中 \(0 < \gamma < \frac{\beta}{\alpha}\)，则 \[ P(M_n > 2^{-n\gamma}) \le C 2^{n(\alpha \gamma - \beta)} \] 由于 \(\alpha \gamma - \beta < 0\)，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} P(M_n > 2^{-n\gamma})\) 收敛。由 Borel-Cantelli 引理，几乎处处存在随机变量 \(N(\omega)\)，使得对于所有的 \(n \geq N(\omega)\)， 有 \(M_n(\omega) \leq 2^{-n\gamma}\)。 因此，对于几乎所有的 \(\omega \in \Omega\)，存在 \(N(\omega)\)，使得对于所有的 \(n \geq N(\omega)\) 和 \(k = 1, 2, \ldots, 2^n\)，有 \[ |X_{\frac{k}{2^n}}(\omega) - X_{\frac{k-1}{2^n}}(\omega)| \leq 2^{-n\gamma}. \] 这表明对于几乎所有的 \(\omega \in \Omega\)，路径 \(t \mapsto X_t(\omega)\) 在二进位网格点上是 Hölder 连续的。我们可以将这种 Hölder 连续性扩展到整个区间 \([0, T]\)，从而得到修改版本 \(\tilde{X}_t\)，使得对于几乎所有的 \(\omega \in \Omega\)，路径 \(t \mapsto \tilde{X}_t(\omega)\) 是 \(\gamma\)-Hölder 连续的。

所以对于矩被控的随机过程，我们总能找到一个修改版本，使得路径具有 Hölder 连续性。

布朗运动 （Brownian Motion）

考虑这样的一个过程，在任何时刻 \(t_1\) 观察，在 \(t_2\) 时候的概率分布只与经过的时间 \(t_2 - t_1\) 与位移有关。 \[ p(t,x,y) = (2\pi t)^{-n/2}\cdot \exp(-\frac{|x-y|^2}{2t}) \forall y\in \mathbb R^n, t > 0 \] 给定 \(k\) 个观测点, \(0\leq t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k\)，定义这样的概率度量为 \(\nu_{t_1,\ldots, t_k}\) 在 \(\mathbb R^{nk}\) 为 \[ v_{t_1,\ldots, t_k}(F_1\times\cdots \times F_k) = \int_{F_1\times \cdots \times F_k} p(t_1, x, x_1) p(t_2-t_1,x_1,x_2) \cdots p(t_k-t_{k-1}, x_{k-1}, x_k) d x_1 \cdots d x_k \] 并且规定 \(p(0,x,y) dy = \delta_x(y)\)，其中 \(dy=dy_1\cdots dy_k\) 是 Lebesgue 测度。 这些测度满足一致性条件，因此由 Kolmogorov 扩展定理，存在一个概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P^{x})\) 和随机过程 \(\{B_t : t \geq 0\}\)，使得对于任意的 \(k \in \mathbb{N}\) 和 \(0 \leq t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k\)，随机变量 \((B_{t_1}, B_{t_2}, \ldots, B_{t_k})\) 的分布为 \(\nu_{t_1, t_2, \ldots, t_k}\)。 这个随机过程称为从点 \(x\) 开始的布朗运动（Brownian Motion），记作 \(B_t^x\) 或简称 \(B_t\)。

根据 Kolmogorov 连续性定理，布朗运动存在一个修改版本，使得对于几乎所有的 \(\omega \in \Omega\)，路径 \(t \mapsto B_t(\omega)\) 是 Hölder 连续的，指数为 \(\gamma\)，其中 \(0 < \gamma < \frac{1}{2}\)。故可以视为 \(C([0,\infty);\mathbb R^n)\) 上的概率测度。

布朗运动具有以下重要性质： 1. 是高斯过程：对于任意的 \(k \in \mathbb{N}\) 和 \(0 \leq t_1 < t_2 < \cdots < t_k\)，随机变量 \(Z=(B_{t_1}, B_{t_2}, \ldots, B_{t_k})\) 服从多元正态分布。 \[ \mathbb E^{x} \left[\exp\left(i \sum_j^{nk} u_j Z_j\right)\right] = \exp\left(i \sum_j^{nk} u_j M_j - \frac{1}{2} \sum_{j,l}^{nk} u_j c_{jl} u_l \right) \]

其中 \[ M = [x, x, \ldots, x]^T \in \mathbb R^{nk} \] \[ C = \begin{bmatrix} t_1 I_n & t_1 I_n & \cdots & t_1 I_n \\ t_1 I_n & t_2 I_n & \cdots & t_2 I_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_1 I_n & t_2 I_n & \cdots & t_k I_n \end{bmatrix} \in \mathbb R^{nk \times nk} \]

我们有 \(\mathbb E^{x}[|(B_t - x)|^2] = n t\)。即布朗运动的方差与时间成正比； \(\mathbb E^{x}[\langle B_t - x, B_s - x \rangle] = n \min(t,s)\)。即布朗运动的协方差与时间的最小值成正比。

因此，\(\mathbb E^{x}[ |(B_t - B_s)|^2] = n (t-s), \forall 0 \leq s < t\)。

2. 具有独立增量：对于任意的 \(0 \leq t_1 < t_2 < \cdots < t_k\)，增量 \(B_{t_2} - B_{t_1}, B_{t_3} - B_{t_2}, \ldots, B_{t_k} - B_{t_{k-1}}\) 是相互独立的随机变量。

3. 几乎处处连续路径：布朗运动存在一个修改版本，使得对于几乎所有的 \(\omega \in \Omega\)，路径 \(t \mapsto B_t(\omega)\) 是连续的。

4. 几乎处处不可微：对于几乎所有的 \(\omega \in \Omega\)，路径 \(t \mapsto B_t(\omega)\) 在任意时刻 \(t\) 都不可微。

1, 2, 3 是直接由构造和 Kolmogorov 连续性定理得到的。

4 的详细证明这里略过，对于单点来说，考虑增量商 \(\geq M\) 的概率，可以证明几乎处处存在一个无穷序列，使得增量商 \(\geq M\)，从而不可微。但是对于整个区间不存在可微点的概率，需要更复杂的论证。

一些重要的概率论定理

\(\pi\)-\(\lambda\) 定理

设 \(\mathcal{P}\) 是 \(\Omega\) 上的一个 \(\pi\)-系（即对于任意的 \(A, B \in \mathcal{P}\)，有 \(A \cap B \in \mathcal{P}\)），\(\mathcal{L}\) 是包含 \(\Omega\) 的一个 \(\lambda\)-系（即满足包含全集、补集封闭性、可列不交并封闭性）。如果 \(\mathcal{P} \subseteq \mathcal{L}\)，则由 \(\mathcal{P}\) 生成的 \(\sigma\)-代数 \(\sigma(\mathcal{P})\) 包含在 \(\mathcal{L}\) 中，即 \(\sigma(\mathcal{P}) \subseteq \mathcal{L}\)。

证明： 定义 \(\mathcal{L}' = \{ A \in \sigma(\mathcal{P}) : A \in \mathcal{L} \}\)。显然，\(\mathcal{L}'\) 是一个 \(\lambda\)-系，并且包含 \(\mathcal{P}\)。因此，由于 \(\sigma(\mathcal{P})\) 是由 \(\mathcal{P}\) 生成的最小的 \(\sigma\)-代数，必有 \(\sigma(\mathcal{P}) \subseteq \mathcal{L}'\)。换言之，\(\sigma(\mathcal{P}) \subseteq \mathcal{L}\)。

特别地，如果一个集合族又是 \(\pi\)-系 又是 \(\lambda\)-系，则它是一个 \(\sigma\)-代数。

Borel-Cantelli 引理

设 \(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\) 是概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的一列事件。

\(\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n\) 表示事件 \(A_n\) 无限次发生的事件（无论多远都能找到某个 \(A_n\) 发生）。

\(\liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n\) 表示事件 \(A_n\) 最终总是发生的事件（从某个时刻开始，所有的 \(A_n\) 都发生）。

Borel-Cantelli 引理说 \[ \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty \Rightarrow P\left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) = 0.\\ \] \[ \text{如果 } \{A_n\} \text{ 相互独立且 } \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty\Rightarrow P\left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) = 1. \] 证明： \[ P\left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) = P\left( \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n \right) = \lim_{m \to \infty} P\left( \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n \right) \leq \lim_{m \to \infty} \sum_{n=m}^{\infty} P(A_n) = 0. \] \[ \begin{aligned} P\left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) &= 1 - P\left( \liminf_{n \to \infty} A_n^c \right) \\ &= 1 - \lim_{m \to \infty} P\left( \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n^c \right)\\ &= 1 - \lim_{m \to \infty} \prod_{n=m}^{\infty} (1 - P(A_n)) \\ &\geq 1 - \lim_{m \to \infty} \exp\left( -\sum_{n=m}^{\infty} P(A_n) \right) = 1. \end{aligned} \]

Kolmogorov 0-1 定理

设 \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) 是定义在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的一列独立随机变量。定义尾 \(\sigma\)-代数为 \[ \mathcal{T} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma(X_n, X_{n+1}, \ldots). \] 那么对于任意的事件 \(A \in \mathcal{T}\)，有 \(P(A) \in \{0, 1\}\)。

证明： 设 \(A \in \mathcal{T}\)，则对于任意的 \(n \in \mathbb{N}\)，\(A \in \sigma(X_n, X_{n+1}, \ldots)\)。由于 \(\{X_n\}\) 是独立的，\(\sigma(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})\) 与 \(\sigma(X_n, X_{n+1}, \ldots)\) 独立。因此，\(A\) 与 \(\sigma(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})\) 独立。由于 \(n\) 是任意的，\(A\) 与 \(\mathcal{L}=\bigcup_{n=1}^{\infty} \sigma(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})\) 独立。注意到 \(\mathcal{L}\) 是一个 \(\pi\)-系，而 \(\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{F}\)，因此由 \(\pi\)-\(\lambda\) 定理，\(A\) 与 \(\mathcal{F}\) 独立。特别地，\(A\) 与自身独立，因此 \[ P(A) = P(A \cap A) = P(A) P(A) \Rightarrow P(A) \in \{0, 1\}. \]

2. Ito 积分，Ito 引理 和 Ito 公式 (Chapter 3, 4 of Øksendal)

Ito 积分

首先我们要问，什么叫做随机积分？我们希望定义类似于 Riemann/Lebesgue 积分的东西，但是积分的变元是随机过程。这样的过程是因为现实中很多现象都具有随机性，比如股票价格的变化，粒子的无规则运动等。

形式化地说，假如我们有一个随机过程 \(X_t\) 和布朗运动 \(B_t\)，我们希望定义积分 \[ \int_S^T X_t dB_t \] 这里的 \(dB_t\) “表示布朗运动的增量”。

回忆一下 Riemann 积分的定义，是将区间 \([S,T]\) 划分为小区间，然后在每个小区间上取一个点，计算函数值与区间长度的乘积之和，最后取极限。或者等价地，用上方控制的简单函数与下方控制的简单函数来逼近，然后两边取极限。

类似地，我们可以尝试定义随机积分为 \[ \sum_{j} f(t_j^*,\omega) (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})(\omega) \] 其中 \(\{t_j\}\) 是 \([S,T]\) 的一个划分，\(t_j^* \in [t_j, t_{j+1}]\) 是每个小区间内的某一个点。

我们现在考虑 \(X_t = B_t\) 的情况，即积分 \[ \int_0^T B_t dB_t \] 我们尝试用上面的和式来定义这个积分。取一个划分 \(S=0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\)，则 \[ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{n-1} B_{t_j} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) &= \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}}^2 - B_{t_j}^2) - \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2 \\ = & \frac{1}{2} (B_T^2 - B_0^2) - \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2 \end{aligned} \] 而 \[ \mathbb E\left[\sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2\right] = \sum_{j=0}^{n-1} (t_{j+1} - t_j) = T \]

而考虑求和 \[ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{n-1} B_{t_{j+1}} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) &= \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}}^2 - B_{t_j}^2) + \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2 \\ &= \frac{1}{2} (B_T^2 - B_0^2) + \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2 \end{aligned} \] 这说明，随机积分的结果与取点的位置有关。

这里的变化，正是因为布朗运动的增量 \((B_{t_{j+1}} - B_{t_j})\) 的平方的期望与区间长度成正比，而不是像确定性函数那样趋近于零。

对于 Ito 积分，我们选择在每个小区间的左端点取值，即定义为 \[ \int_S^T X_t dB_t := \lim_{|\Delta| \to 0} \sum_{j} X_{t_j} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) \] 令最大区间长度 \(|\Delta| = \max_j (t_{j+1} - t_j)\) 趋近于零。

顺便，我们也可以定义 Stratonovich 积分，其选择在每个小区间的中点取值，即定义为 \[ \int_S^T X_t \circ dB_t := \lim_{|\Delta| \to 0} \sum_{j} X_{\frac{t_j + t_{j+1}}{2}} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) \]

那么现在我们就可以保证我们的积分在 \(L^2\) 意义下收敛到一个随机变量了吗？ 为了考察这个问题，我们先考虑简单函数的情况。

我们称随机过程 \(X_t\) 是一个简单过程，如果它可以表示为 \[ X_t(\omega) = \sum_{j} e_j(\omega) \mathbf{1}_{[t_j, t_{j+1})}(t) \] 其中 \(\{t_j\}\) 是 \([S,T]\) 的一个划分。

显然，对于简单过程 \(X_t\)，我们可以定义 Ito 积分为 \[ \int_S^T X_t dB_t := \sum_{j} e_j (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) \]

然后我们考虑在 \(L^2\) 意义下的收敛性。即计算 \[ \begin{aligned} \mathbb E\left[\left(\int_S^T X_t dB_t\right)^2\right] &= \mathbb E\left[\left(\sum_{j} e_j (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})\right)^2\right] \\ & = \sum_{i,j} \mathbb E[e_i e_j \Delta B_i \Delta B_j] \\ \end{aligned} \]

为了进一步计算，我们假设 \(e_j\) 是 \(\mathcal{F}_{t_j}\)-可测的，其中 \(\mathcal{F}_t\) 是由 \(\{B_s : s \leq t\}\) 生成的 \(\sigma\)-代数（则\(\mathcal{F}_{s} \subseteq \mathcal{F}_{t}\) 对于 \(s < t\)）。

对于 \(i < j\)，有 \(e_i, e_j, \Delta B_i\) 都是 \(\mathcal{F}_{t_j}\)-可测的，而 \(\Delta B_j\) 独立于 \(\mathcal{F}_{t_j}\)，因此 \[ \begin{aligned} \mathbb E[e_i e_j \Delta B_i \Delta B_j] &= \mathbb E\left[ \mathbb E[e_i e_j \Delta B_i \Delta B_j | \mathcal{F}_{t_j}] \right] \quad \text{（全期望公式）} \\ &= \mathbb E\left[ e_i e_j \Delta B_i \mathbb E[\Delta B_j | \mathcal{F}_{t_j}] \right] \quad \text{（条件期望的线性性质）} \\ &= 0 \quad \text{（} \mathbb E[\Delta B_j | \mathcal{F}_{t_j}] = \mathbb E[\Delta B_j] = 0 \text{）} \end{aligned} \]

类似地，对于 \(i > j\)，也有 \(\mathbb E[e_i e_j \Delta B_i \Delta B_j] = 0\)。 因此，只有当 \(i = j\) 时，\(\mathbb E[e_i e_j \Delta B_i \Delta B_j]\) 才可能非零。此时， \[ \mathbb E[e_j^2 (\Delta B_j)^2] = \mathbb E[e_j^2] \mathbb E[(\Delta B_j)^2] = \mathbb E[e_j^2] (t_{j+1} - t_j) \] 综上所述，我们得到了 \[ \mathbb E\left[\left(\int_S^T X_t dB_t\right)^2\right] = \sum_{j} \mathbb E[e_j^2] (t_{j+1} - t_j) = \mathbb E\left[\int_S^T X_t^2 dt\right] \]

因此，我们得到了 Ito 等距公式 （简单过程版本）： \[ \mathbb E\left[\left(\int_S^T X_t dB_t\right)^2\right] = \mathbb E\left[\int_S^T X_t^2 dt\right] \]

左边是一个 Ito 积分作为随机变量的 \(L^2\) 范数，右边是一个随机过程被视作 \(\Omega \times [S,T]\) 上的概率测度/随机变量的 \(L^2\) 范数。因此叫做等距公式。

这个实际上就在告诉我们，我们在时间这一维积分后，整体的长度是不变的。

现在我们将它推广到较为一般的过程并给出正式定义。

令 \(\{\mathcal{N}_t\}\) 为一族递增的 \(\sigma\)-代数，称为过滤（filtration）。随机过程 \(X_t\) 称为适应于过滤 \(\{\mathcal{N}_t\}\) 的，如果对于每个 \(t\)，\(X_t\) 是 \(\mathcal{N}_t\)-可测的。

令 \(\mathcal{F}_t\) 为由布朗运动 \(\{B_s : s \leq t\}\) 生成的自然过滤，即 \[ \mathcal{F}_t = \sigma(B_s : s \leq t) = \sigma(\omega; \omega(t_1)\in B_1, \ldots, \omega(t_k) \in B_k, \text{其中 } t_i \leq t, B_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \] 这里我们假设 \(\mathcal{F}_t\) 是完备化的，即包含所有的 \(P\)-零测集。

逼近过程

定义空间 \(\mathcal{V}=\mathcal{V}(S,T)\) 为所有适应于过滤 \(\{\mathcal{F}_t\}\) 的随机过程 \(X_t\)（或函数 \(X: [S,T] \times \Omega \to \mathbb{R}\)）且满足 1. \(X\) 在 \([S,T] \times \Omega\) 上联合可测； 2. \(\int_S^T E[X_t^2] dt < \infty\)，即 \(X_t \in L^2([S,T] \times \Omega)\)。

Step 1

首先，令 \(g \in \mathcal{V}\) 是有界的，并且 \(g\) 对于每个 \(\omega\) 是连续的。则存在一列简单过程 \(\{g_n\} \subset \mathcal{V}\)，使得 \[ \lim_{n \to \infty} E\left[\int_S^T (g_n(t,\omega) - g(t,\omega))^2 dt\right] = 0. \]

证明： 取 \(\phi_n = \sum_j g(t_j, \omega) \mathbf{1}_{[t_j, t_{j+1})}(t)\)，其中 \(\{t_j\}\) 是 \([S,T]\) 的一个划分，且当 \(n \to \infty\)，划分的间距趋近于零。显然有 \(\phi_n \in \mathcal{V}\)，并且由于 \(g\) 对于每个 \(\omega\) 连续，因此 \(\phi_n(t,\omega)\) 对于每个 \(\omega\) 在 \([S,T]\) 上逐点收敛于 \(g(t,\omega)\)，且一致有界。

由有界收敛定理，我们有 \[ \lim_{n \to \infty} \mathbb E\left[\int_S^T (\phi_n(t,\omega) - g(t,\omega))^2 dt\right] = \mathbb E\left[\int_S^T \lim_{n \to \infty} (\phi_n(t,\omega) - g(t,\omega))^2 dt\right] = 0. \] 因此，\(\{\phi_n\}\) 是所需的简单过程列。

Step 2

令 \(h\in \mathcal V\) 是有界的。则存在以上有界过程 \(g_n \in \mathcal V\)，使得 \[ \lim_{n\to \infty} \mathbb E \left[\int_S^T (h(t,\omega)-g_n(t,\omega))^2 dt\right] = 0 \]

证明：在实分析中，任取非负连续列 \(\{\phi_n(x)\}\) 弱收敛到 \(\delta_0(x)\)，令 \(g_n(t)=(\phi_n * h)(t)=\int_S^T h(s, \omega) \phi_n(s-t)\, ds\) 作为卷积，易知有界连续且弱收敛到 \(h\)。但是这里不可利用未来信息，所以取支撑在 \(\mathbb R^+\)的列即可。而 \(g_n(t, \cdot)\)是 \(\mathcal{F_t}\) 可测的，因为 \(F(s, \omega) = h(s, \omega) \phi_n(s-t)\) 是 \(\mathcal{B}([S,T]) \otimes \mathcal{F_t}\) 上可测的，所以 \(\int_{S}^{T}F(s,\omega)\, ds\) 根据 Fubini 定理也是 \(\mathcal{F_t}\) 上可测的。

Step 3

令 \(f \in \mathcal V\)。则存在以上有界过程 \(h_n \in \mathcal V\)，\(h_n\) 对每个 \(n\) 有界，而且 \[ \lim_{n\to \infty} \mathbb E\left[\int_S^T (f(t,\omega)-h_n(t,\omega))^2 dt\right] = 0 \] 证明：令 \[ h_n = \begin{cases} -n & \text{if $f(t,\omega) < -n$ } \\ f(t,\omega) & \text{if $-n\leq f(t,\omega) \leq n$ } \\ n & \text{if $f(t,\omega) > n$ } \\ \end{cases} \]

然后使用控制收敛定理交换极限和积分即可。

于是我们现在可以定义一个随机过程 \(f \in \mathcal V\) 的 Ito 积分为

\[ \mathcal{I}[f](\omega):=\int_S^T f(t,\omega) \, dB_t(\omega)=\lim_{n\to \infty} \int_S^T \phi_n(t,\omega)\, dB_t(\omega) \]

其中 \(\phi_n\) 是简单函数列，满足 \[ \lim_{n\to \infty} \mathbb E\left[\int_S^T |f-\phi_n|^2 \,dt \right] = 0 \] 由以上的证明保证存在性，并且由 Ito 等距公式（简单过程版），我们知道 \[ \mathbb E\left[\int_S^T \phi_n(t,\omega)^2 \, dt \right] = \mathbb E\left[\left(\int_S^T \phi_n(t,\omega) \, dB_t(\omega)\right)^2\right] \] 因此，\(\left\{\int_S^T \phi_n(t,\omega) \, dB_t(\omega)\right\}\) 是 \(L^2(\Omega)\) 中的 Cauchy 列，从而 \(\mathcal{I}[f](\omega)\) 是良定义的。

总结

1. 对于 \(f \in \mathcal V\)，Ito 积分 \(\int_S^T f(t,\omega) \, dB_t(\omega)\) 是良定义的随机变量，且满足 Ito 等距公式 \[ \mathbb E\left[\left(\int_S^T f(t,\omega) \, dB_t(\omega)\right)^2\right] = \mathbb E\left[\int_S^T f(t,\omega)^2 \, dt\right] \]

2. 对于 \(f \in \mathcal V\) 和 一列 \(\left\{f_n\right\} \subset \mathcal V\)，如果 \[ \lim_{n\to \infty} \mathbb E\left[\int_S^T |f_n(t,\omega)-f(t,\omega)|^2 \, dt\right] = 0 \] 则 \[ \int_S^T f_n(t,\omega) \, dB_t(\omega) \xrightarrow{L^2(\Omega)} \int_S^T f(t,\omega) \, dB_t(\omega) \] 换句话说，如果随机过程列在 \(L^2([S,T] \times \Omega)\) 意义下收敛，则对应的 Ito 积分列在 \(L^2(\Omega)\) 意义下收敛。 Ito 积分是一个在两个 \(L^2\) 空间之间的连续线性映射。

以上逻辑为，第一，因为布朗运动的二次变差是时间的线性函数，所以在 \(L^2\) 下，简单过程对布朗运动的积分是良定义并且等距的。第二、简单过程（在适应过程的） \(L^2\) 意义下是稠密的，所以可以推广到所有过程。

Ito积分的鞅性质

设 \(f \in \mathcal{V}(S,T)\)，我们容易知道 \[ \mathbb E\left[\int_S^T f\, dB_t\right] = 0 \] 因为对于简单过程，每一段增量的期望均是零。

更强的结果是，Ito 积分得到的过程本身是一个鞅，也就是说如果我们只考虑事件点 \(t\) 之前的信息 \(\mathcal{F}_t\)，那么这个随机变量的期望是当前点的值。

具体地说，给定概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的一个滤过 \(\{\mathcal{F}_t\}\)，以及一个适应于 \(\{\mathcal{F}_t\}\) 的随机过程 \(M_t\)，并且假设对于每个 \(t\)，\(\mathbb E[|M_t|] < \infty\)。

如果对于所有的 \(s < t\)，都有 \[ \mathbb E[M_t | \mathcal{F}_s] = M_s \] 则称 \(M_t\) 是一个鞅（martingale）。

现在我们来证明 Ito 积分过程是一个鞅。

证明： 首先取逼近列 \(\{f_n\}\)，则对应的 Ito 积分过程为 \[M_t^n = \int_S^t f_n(u,\omega) \, dB_u(\omega)\] 对于 \(s < t\)，我们有 \[ \begin{aligned} \mathbb E[M_t^n | \mathcal{F}_s] &= \mathbb E\left[\int_S^s f_n(u,\omega) \, dB_u(\omega) + \int_s^t f_n(u,\omega) \, dB_u(\omega) \bigg| \mathcal{F}_s\right] \\ &= \int_S^s f_n(u,\omega) \, dB_u(\omega) + \mathbb E\left[\int_s^t f_n(u,\omega) \, dB_u(\omega) \bigg| \mathcal{F}_s\right] \text{ （因为左侧 $\mathcal{F}_s$ 可测）} \\ &= M_s^n + \mathbb E\left[\sum_{j} f_n(t_j,\omega) (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) \bigg| \mathcal{F}_s\right] \\ &= M_s^n + 0 \quad \text{（增量独立于 $\mathcal{F}_s$）} \\ &= M_s^n \end{aligned} \]

现在令 \(n \to \infty\)，由于 Ito 积分在 \(L^2(\Omega)\) 意义下连续，我们有 \[ \mathbb E[M_t | \mathcal{F}_s] = M_s \] 因此，Ito 积分过程 \(M_t = \int_S^t f(u,\omega) \, dB_u(\omega)\) 是一个鞅。

但是我们首先注意到，目前我们只说明了，Ito 积分的结果是一个鞅过程。但是，这个过程是否具有连续路径呢？是否能类似于在定义布朗运动时的情况，我们找一个修改版本，使得几乎对于所有的 \(\omega\)，路径 \(t \mapsto M_t(\omega)\) 是连续的呢？

为了应用 Kolmogorov 连续性定理，我们需要估计增量的矩。也即 \[ \mathbb E[|M_t - M_s|^\alpha] \leq C |t - s|^{1 + \beta}. \] 对于某个 \(\alpha > 0\)。 利用 Ito 等距公式，我们有 \[ \mathbb E[|M_t - M_s|^2] = \mathbb E\left[\left(\int_s^t f(u,\omega) \, dB_u(\omega)\right)^2\right] = \mathbb E\left[\int_s^t f(u,\omega)^2 \, du\right] \] 但是，我们实际上需要更高阶的矩估计来应用 Kolmogorov 连续性定理，所以用等距公式还不够。

Doob 鞅不等式（Doob’s Martingale Inequality）

设 \(M_t\) 是一个鞅过程，且对于每个 \(t\)，\(t \mapsto M_t(\omega)\) 是连续的。则对于任意的 \(p > 1\)，\(T > 0\)，\(\lambda > 0\)，有 \[ P\left(\sup_{0 \leq t \leq T} |M_t| \geq \lambda\right) \leq \frac{\mathbb E[|M_T|^p]}{\lambda^p} \]

这个实际上是类比概率论中的 Markov 不等式。回顾 Markov 不等式的证明过程，给定一个 \(\lambda\)，我们只考虑那些 \(|X| \geq \lambda\) 的事件，每一个都至少贡献 \(\lambda^p\)，所以总贡献至少是 \(\lambda^p P(|X| \geq \lambda)\)，而这个贡献不能超过 \(E[|X|^p]\)。

那么现在，我们处理的是一个随机过程 \(M_t\)，我们考虑在区间 \([0,T]\) 上的最大值 \(\sup_{0 \leq t \leq T} |M_t|\)。对于那些路径上最大值超过 \(\lambda\) 的事件 \(\omega\)，我们需要考虑它对 \(|M_T|^p\) 的贡献。

换句话说，我们需要一个不等式，控制路径最大值和终点值之间的关系。那么，现在我们考虑第一次超过 \(\lambda\) 的时间点 \(\tau\)。在这个时候，鞅性质告诉我们，因为我们不知道未来信息，未来的期望值仍然是当前值，\(\mathbb E[M_{T}(\omega) | \mathcal{F}_\tau] = M_\tau(\omega)\)。

可选停时定理 （Optional Stopping Theorem）

对于过滤 \(\{\mathcal{F}_t\}\)，随机变量 \(\tau: \Omega \to [0, \infty]\) 称为一个停时 （stopping time），如果对于每个 \(t \geq 0\)，事件 \(\{\tau \leq t\} \in \mathcal{F}_t\)。

现给定随机过程 \(M_t\) 和停时 \(\tau\)，定义截断过程 \(M_{t \wedge \tau}\) 为 \[ M_{t \wedge \tau}(\omega) = M_{\min(t, \tau(\omega))}(\omega) \] 也就是在时间 \(\tau(\omega)\) 之后，过程保持不变，因此称作停止过程。

停止过程保持适应性：如果 \(M_t\) 是关于 \(\{\mathcal{F}_t\}\) 的适应过程，则 \(M_{t \wedge \tau}\) 也是关于 \(\{\mathcal{F}_t\}\) 的适应过程。 证明：对于任意的 \(t \geq 0\)，有 \[ \{ \omega : M_{t \wedge \tau}(\omega) \in B \} = \{\omega : \tau(\omega) \leq t, M_{\tau(\omega)}(\omega) \in B\} \cup \{\omega : \tau(\omega) > t, M_t(\omega) \in B\} \] 其中 \(\{\omega : \tau(\omega) \leq t\} \in \cal{F}_t\)，且 \(\{\omega : M_{\tau(\omega)}(\omega) \in B\} \in \cal{F}_{\tau(\omega)} \subseteq \cal{F}_t\)，因此第一部分在 \(\cal{F}_t\) 中。同理，第二部分也在 \(\cal{F}_t\) 中，因此整体也在 \(\cal{F}_t\) 中。

注意到 \(M_{t \wedge \tau_2} - M_{t \wedge \tau_1} = \mathbf{1}_{\{\tau_1 < t\}} (M_{t \wedge \tau_2} - M_{\tau_1})\)。特别地，\(M_{t \wedge \tau} - M_0 = \mathbf{1}_{\{\tau < t\}} (M_{t \wedge \tau} - M_0)\)。

设 \(\{M_t\}_{t \geq 0}\) 是关于 \(\{\mathcal{F}_t\}\) 的右连续鞅（即对于每个 \(\omega\)，\(t \mapsto M_t(\omega)\) 是右连续的），满足 \(M_{t\wedge \tau}\) 是均匀可积的（uniformly integrable），即 \[ \lim_{K \to \infty} \sup_{t\geq 0} \mathbb E[|M_t| \mathbf{1}_{\{|M_t| > K\}}] = 0. \] （一个充分条件是 \(\tau\) 是有界的，或者被某个可积随机变量控制。）

则对于两个有限停时（\(P(\tau<\infty) = 1\)） \(\tau_1 \leq \tau_2\)，有 \[ \mathbb E[M_{\tau_2} | \mathcal{F}_{\tau_1}] = M_{\tau_1}, \quad \text{a.s.} \] 特别地， \[ \mathbb E[M_{\tau_2}] = \mathbb E[M_{\tau_1}]. \]

证明： 首先考虑简单停时的情况。设 \(\tau_1\) 和 \(\tau_2\) 是简单停时，分别取值于有限集合 \(\{t_1, t_2, \ldots, t_n\}\) 和 \(\{s_1, s_2, \ldots, s_m\}\)。则 \[ \begin{aligned} \mathbb E[M_{\tau_2} | \mathcal{F}_{\tau_1}] &= \sum_{i=1}^n \mathbb E[M_{\tau_2} | \mathcal{F}_{t_i}] \mathbf{1}_{\tau_1 = t_i} \\ &= \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^m \mathbb E[M_{s_j} | \mathcal{F}_{t_i}] \mathbf{1}_{\tau_2 = s_j} \right) \mathbf{1}_{\tau_1 = t_i} \\ &= \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^m M_{t_i} \mathbf{1}_{\tau_2 = s_j} \right) \mathbf{1}_{\tau_1 = t_i} \quad \text{（鞅性质）} \\ &= \sum_{i=1}^n M_{t_i} \mathbf{1}_{\tau_1 = t_i} \\ &= M_{\tau_1} \end{aligned} \] 而对于一般的停时 \(\tau_1, \tau_2\)，我们可以找到一列简单停时 \(\{\tau_1^n\}, \{\tau_2^n\}\)，使得 \(\tau_1^n \downarrow \tau_1\)，\(\tau_2^n \downarrow \tau_2\)。

对于每一组 \(\tau_1^n, \tau_2^n\)，我们已经知道： \[ \mathbb{E}[M_{\tau_2^n} \mathbf{1}_{A}] = \mathbb{E}[M_{\tau_1^n} \mathbf{1}_{A}] \quad (\text{对所有 } A \in \mathcal{F}_{\tau_1^n}) \] 现在约定 \(A \in \mathcal{F}_{\tau_1}\)，则对于每个 \(n\)，都有 \(A \in \mathcal{F}_{\tau_1^n}\)，因此，两侧取极限得到 \[ \mathbb{E}[M_{\tau_2} \mathbf{1}_{A}] = \mathbb{E}[M_{\tau_1} \mathbf{1}_{A}] \] 于是 \(\mathbb{E}[M_{\tau_2} | \mathcal{F}_{\tau_1}] = M_{\tau_1}\) 几乎处处成立，这里我们使用了均匀可积性来交换极限和期望。

次鞅的可选停时定理

定义次鞅（submartingale）：如果对于所有的 \(s < t\)，都有 \[ \mathbb E[M_t | \mathcal{F}_s] \geq M_s, \] 则称 \(M_t\) 是一个次鞅。而可选停时定理同样适用于次鞅，结论变为 \[ \mathbb E[M_{\tau_2} | \mathcal{F}_{\tau_1}] \geq M_{\tau_1}, \quad \text{a.s.} \]

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回到 Doob 鞅不等式的证明，我们取停时 \(\tau = \inf\{t \geq 0 : |M_t| \geq \lambda\}\)，则 \[ P\left(\sup_{0 \leq t \leq T} |M_t| \geq \lambda\right) = P(\tau \leq T). \] 根据 Jensen 不等式 的条件期望版本，对于 \(s < t\)： \[ E[|M_t|^p \mid \mathcal{F}_s] \geq |E[M_t \mid \mathcal{F}_s]|^p = |M_s|^p \] 因此，\(|M_t|^p\) 是一个次鞅。由可选停时定理，有 \[ \mathbb E[|M_{T \wedge \tau}|^p] \geq \mathbb E[|M_0|^p] = |M_0|^p. \]

注意到当 \(\tau \leq T\) 时，\(|M_{T \wedge \tau}| \geq \lambda\)，因此 \[ \begin{aligned} \mathbb E[|M_{T \wedge \tau}|^p] &\geq \mathbb E[|M_{T \wedge \tau}|^p \mathbf{1}_{\{\tau \leq T\}}] \\ &\geq \lambda^p P(\tau \leq T). \end{aligned} \] 综上所述，我们得到 \[ P\left(\sup_{0 \leq t \leq T} |M_t| \geq \lambda\right) = P(\tau \leq T) \leq \frac{\mathbb E[|M_{T \wedge \tau}|^p]}{\lambda^p} \leq \frac{\mathbb E[|M_T|^p]}{\lambda^p}. \] 这就完成了 Doob 鞅不等式的证明。

Ito 积分路径的连续性

现在我们回到 Ito 积分路径的连续性问题。设 \(f \in \mathcal{V}(0,T)\)，我们定义 Ito 积分过程 \[ M_t = \int_0^t f(s,\omega) \, dB_s(\omega). \] 我们希望证明 \(M_t\) 存在一个修改版本，使得对于几乎所有的 \(\omega\)，路径 \(t \mapsto M_t(\omega)\) 是连续的。

令 \(\phi_n\) 是逼近 \(f\) 的简单过程列，使得 \[ \lim_{n \to \infty} \mathbb E\left[\int_0^T |f(t,\omega) - \phi_n(t,\omega)|^2 \, dt\right] = 0. \] 对应的 Ito 积分过程为 \[ I_n(t,\omega) = \int_0^t \phi_n(s,\omega) \, dB_s(\omega). \] 同时定义 \[ I(t,\omega) = \int_0^t f(s,\omega) \,dB_s(\omega). \] 由于 \(\phi_n\) 是简单过程，\(I_n(t,\omega)\) 对于每个 \(\omega\) 都是连续的。 现在我们来估计 \(I_n(t,\omega)\) 和 \(I_m(t,\omega)\) 之间的差异。利用 Doob 鞅不等式，对于任意的 \(\epsilon > 0\)，有 \[ P\left(\sup_{0 \leq t \leq T} |I_n(t,\omega) - I_m(t,\omega)| \geq \epsilon\right) \leq \frac{1}{\epsilon^2} \mathbb{E}\left[|I_n(T,\omega) - I_m(T,\omega)|^2\right]. \] 根据 Ito 等距公式，我们有 \[ \lim_{n,m\to \infty} \mathbb{E}\left[|I_n(T,\omega) - I_m(T,\omega)|^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T |\phi_n(s,\omega) - \phi_m(s,\omega)|^2 \, ds\right]=0 \] 所以我们可以选取一个子序列 \(\{I_{n_k}\}\)，使得 \[ \sum_{k=1}^\infty P\left(\sup_{0 \leq t \leq T} |I_{n_{k+1}}(t,\omega) - I_{n_k}(t,\omega)| \geq 2^{-k}\right) < \infty. \] 根据 Borel-Cantelli 引理，几乎所有的 \(\omega\)，存在一个 \(k_0(\omega)\)，使得对于所有的 \(k \geq k_0(\omega)\)，都有 \[ \sup_{0 \leq t \leq T} |I_{n_{k+1}}(t,\omega) - I_{n_k}(t,\omega)| < 2^{-k}. \] 这说明对于几乎所有的 \(\omega\)，序列 \(\{I_{n_k}(t,\omega)\}\) 在 \(C([0,T])\) 空间中是一致收敛的。因此，定义 \[ I(t,\omega) = \lim_{k \to \infty} I_{n_k}(t,\omega), \] 则对于几乎所有的 \(\omega\)，路径 \(t \mapsto I(t,\omega)\) 是连续的。

因此，我们得出结论：对于任意的 \(f \in \mathcal{V}(0,T)\)，Ito 积分过程 \(M_t = \int_0^t f(s,\omega) \, dB_s(\omega)\) 存在一个修改版本，使得对于几乎所有的 \(\omega\)，路径 \(t \mapsto M_t(\omega)\) 是连续的。以后我们默认使用这个连续版本的 Ito 积分过程。

而且我们有 \[ P\left(\sup_{0 \leq t \leq T} |M_t| \geq \lambda\right) \leq \frac{1}{\lambda^2} \mathbb{E}\left[|M_T|^2\right] = \frac{1}{\lambda^2} \mathbb{E}\left[\int_0^T f(s,\omega)^2 \, ds\right]. \]

Ito 引理

在讨论 Ito 引理之前，我们先具体计算一下几个 Ito 积分和 Stratonovich 积分的例子，来帮助理解它们和普通微积分的区别。

计算 Ito 积分 \(\int_0^T f \, dB_t\)

假设我们什么公式都没学过，我们拿到这个积分在手，唯一能做的就是按照定义展开， 取 \(\phi_n= \sum f(t_j,\cdot) \mathbf{1}_{t_j\leq t < t_{j+1}}, t_j = \frac{j}{2^n} T\) \[ \int_{0}^{T} f \, dB_t = \lim_{n\to\infty } \sum_{j}\phi_n(t_j) (B_{t_{j+1}}-B_{t_j}) = \lim_{n\to\infty } \sum_{j}f(t_j,\cdot) (B_{t_{j+1}}-B_{t_j}) \]

仿照之前的计算，我们希望把 \(f\) 在 \(t_j\) 的取值分成一些部分，每个部分都是某个不定积分的增量。我们先假定我们的积分结果形式为 \[ \int_S^t f \, dB_t = F(t,B_t, \omega) - F(S,B_S, \omega) \] 其中 \(F\) 是某个待定函数。然后我们来计算增量 \[ \begin{aligned} \Delta F_j &:= F(t_{j+1}, B_{t_{j+1}}, \omega) - F(t_j, B_{t_j}, \omega) \\ &= F(t_{j+1}, B_{t_j} + \Delta B_j, \omega) - F(t_j, B_{t_j}, \omega) \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} \frac{\partial^k F}{\partial x^k}(t_j, B_{t_j}, \omega) (\Delta B_j)^k + \frac{\partial F}{\partial t}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta t_j + o(\Delta t_j) \end{aligned} \] 这里的展开是对 \(x\) 变量的泰勒展开加上对 \(t\) 变量的线性近似。我们简单考虑一下对 \(x\) 的二阶截断误差项 \(R_j\) 在 \(L^2\) 意义下的收敛性。我们有 \[ E \left[ \left( \sum_j R_j \right)^2 \right] = \sum_j E[R_j^2] + \sum_{i \neq j} E[R_i R_j] \] 根据拉格朗日余项，\(R_j = \frac{1}{6} F_{xxx}(\eta_j) (\Delta B_j)^3\)。 假设 \(F_{xxx}\) 一致有界，则：

第一部分（平方项）：\(E[R_j^2] \leq C \cdot E[(\Delta B_j)^6]\)。由正态分布矩性质，\(E[(\Delta B_j)^6] = 15(\Delta t_j)^3\)。 \[ \sum_j E[R_j^2] \leq 15C \sum_j (\Delta t_j)^3 \leq 15C \cdot \delta^2 \sum_j \Delta t_j = 15C \cdot \delta^2 (T-S) \to 0 \]

第二部分（交叉项）：

根据全期望公式，\(E[R_i R_j] = E[E[R_i R_j | \mathcal{F}_{t_{\max(i,j)}}]]\)。假设 \(i < j\)，则 \[E[R_i R_j | \mathcal{F}_{t_j}] = R_i E[R_j | \mathcal{F}_{t_j}] = R_i \cdot 0 = 0\] 因为 \(\Delta B_j\) 独立于 \(\mathcal{F}_{t_j}\)，且 \(E[\Delta B_j] = 0\)。所以交叉项为零。

所以当我们对所有的增量求和时，\(n\geq 2\) 的误差项 在 \(L^2\) 意义下收敛到零。

我们只需要对这个展开式取前两项： \[ \Delta F_j \approx \frac{\partial F}{\partial x}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta B_j + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t_j, B_{t_j}, \omega) (\Delta B_j)^2 + \frac{\partial F}{\partial t}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta t_j \] 因此，我们有 \[ \sum_j \Delta F_j \approx \sum_j \frac{\partial F}{\partial x}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta B_j + \frac{1}{2} \sum_j \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t_j, B_{t_j}, \omega) (\Delta B_j)^2 + \sum_j \frac{\partial F}{\partial t}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta t_j \] 注意到 \((\Delta B_j)^2\) 收敛到 \(\Delta t_j\)，所以在极限下，第二项变成 \[\frac{1}{2} \int_S^T \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t, B_t, \omega) dt\] 而第三项则是 \[\int_S^T \frac{\partial F}{\partial t}(t, B_t, \omega) dt\]

因此，我们得出 Ito 引理的基本形式：

Ito 引理（Ito’s Lemma）

设 \(B_t\) 是一个标准布朗运动，\(F: [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是一个二次连续可微函数（即 \(F \in C^{1,2}([0,T] \times \mathbb{R})\)）。定义随机过程 \[ X_t = F(t, B_t). \] 则 \(X_t\) 的微分满足 \[ dX_t = \frac{\partial F}{\partial t}(t, B_t) dt + \frac{\partial F}{\partial x}(t, B_t) dB_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t, B_t) dt. \]

于是我们记住以下微分的规则：

• \(dt \cdot dt = 0\)

• \(dt \cdot dB_t = 0\)

• \(dB_t \cdot dB_t = dt\)

这些都是在 \(L^2\) 意义下对积分求和逼近意义下成立的。

回到上面的例子，我们现在试图构造一个函数 \(F\)，使得 \[ \frac{\partial F}{\partial x}(t, B_t) = f(t, B_t). \] 这就意味着我们可以取 \[ F(t,x) = \int_0^x f(t,y) \, dy - G(t), \] 其中 \(G(t)\) 是任意的关于 \(t\) 的可微函数。

根据 Ito 引理，我们有 \[ dX_t = \frac{\partial F}{\partial t}(t, B_t) dt + f(t, B_t) dB_t + \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(t, B_t) dt. \] 因此，Ito 积分 \(\int_0^T f(t, B_t) \, dB_t\) 可以表示为 \[ \begin{aligned} \int_0^T f(t, B_t) \, dB_t &= \int_0^{B_T} f(T, y) dy - \int_0^T \left(\int_0^{B_t} \partial_t f(t,y) dy + \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(t, B_t) \right) dt \\ &= F(T, B_T) - \int_0^T \left( \frac{\partial F}{\partial t}(t, B_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(t, B_t) \right) dt.\\ \end{aligned} \]

这就是我们通过 Ito 引理计算 Ito 积分的一个基本方法。首先对 \(f\) 非时间依赖部分进行不定积分，得到 \(F\)，然后应用 Ito 引理计算 \(dX_t\)，最后减去时间积分部分即可得到所需的 Ito 积分表达式。

在以上的例子中，我们取 \(f(x,t)=x\)， \(G(t) = 0\)，\(F(t,x) = \int_0^x y \, dy = \frac{1}{2} x^2\)，$ X_t = F(t, B_t)$。

\[ \int_0^T B_t \, dB_t = X_T - X_0 - \int_0^T \left( 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 \right) dt = \frac{1}{2} B_T^2 - \frac{1}{2} T \] 这和我们之前直接计算的结果是一致的。

如果我们想寻找一个类似于微积分中直接的原函数形式的表达式，根据 Ito 引理，我们需要修改 \(G(t)\)，使得剩下的时间积分部分抵消，也即 \[ \frac{dG}{dt}(t) = \int_0^{x} \frac{\partial f}{\partial t}(t,y) \, dy + \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(t, x) \]

Ito 引理的推广

在以上的讨论中，我们考虑了一个随机过程 \(X_t=F(t,x)\)，其中 \(x\) 以 \(B_t\) 的形式出现。最终我们发现 \(dX_t\) 包含了 \(dt\) 和 \(dB_t\) 两部分的增量。

我们可以令 \(x=Y_t\) 以更一般的形式出现，\(dY_t\) 如果仅包含 \(dt\) 的增量和 \(dB_t\) 的增量。那展开之后，\(dX_t\) 就会包含 \(dt\) 和 \(dY_t\) 的增量了。我们可以继续展开 \(dY_t\) 的增量，最终得到 \(dX_t\) 包含 \(dt\) 和 \(dB_t\) 的增量。这样就构成了一族封闭的类型，我们可以在这个族中任意选择一个过程 \(X_t\)，它的增量 \(dX_t\) 仍然可以表示为这个族中的某个过程的增量。

具体地，令 \(X_t = F(t, Y_t)\)，其中 \(Y_t\) 满足 \[ dY_t = b(t, Y_t) dt + \sigma(t, Y_t) dB_t, \]

按照之前的微分法则，计算 \(dX_t\)，我们有 \[ \begin{aligned} dX_t &= \frac{\partial F}{\partial t}(t, Y_t) dt + \frac{\partial F}{\partial x}(t, Y_t) dY_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t, Y_t) (dY_t)^2 \\ &= \frac{\partial F}{\partial t}(t, Y_t) dt + \frac{\partial F}{\partial x}(t, Y_t) (b(t, Y_t) dt + \sigma(t, Y_t) dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t, Y_t) (\sigma(t, Y_t))^2 dt \\ &= \left( \frac{\partial F}{\partial t}(t, Y_t) + \frac{\partial F}{\partial x}(t, Y_t) b(t, Y_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t, Y_t) (\sigma(t, Y_t))^2 \right) dt + \frac{\partial F}{\partial x}(t, Y_t) \sigma(t, Y_t) dB_t \end{aligned} \]

\(X_t\) 的漂移项（\(dt\) 的系数）由三个部分组成：\(F\) 自身对时间的变化率、由 \(Y_t\) 的漂移引起的变化率、以及由 \(Y_t\) 的扩散引起的变化率。

\(X_t\) 的扩散项（\(dB_t\) 的系数）则由 \(F\) 对 \(x\) 的偏导数和 \(Y_t\) 的扩散系数共同决定。

Ito 积分的推广

到目前为止，我们已经定义了适应过程 \(f \in \mathcal V\) 上的 Ito 积分 \(\int_S^T f(t,\omega) \, dB_t(\omega)\)，并且证明了它的鞅性质和路径连续性。

我们可以拓展它的定义域，使得 \(f\) 适应于更复杂的滤过，不再局限于一维布朗运动。

首先，在 \(\mathcal{V}(S,T)\) 的定义中，对应的滤过可以改为满足以下条件的滤过 \(\{\mathcal{H}_t\}\)： 1. \(B_t\) 是关于 \(\{\mathcal{H}_t\}\) 的鞅。 2. \(f_t\) 是关于 \(\{\mathcal{H}_t\}\) 的适应过程，即对于每个 \(t\)，\(f_t\) 是 \(\mathcal{H}_t\) 可测的。

注意 (1) 蕴含了 \(\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{H}_t\)。

实际上，这里的意思是，我们允许 \(f\) 依赖于比布朗运动更多的信息，只要布朗运动仍然是这个更大滤过下的鞅即可，因为在我们证明 Ito 积分的鞅性质时，只用到了布朗运动增量独立于过去的信息和 \(f\) 的适应性，在上面证明的过程中已经标注清楚了。

多维 Ito 积分

设 \(\mathbf{B}_t = (B_t^{(1)}, B_t^{(2)}, \ldots, B_t^{(n)})\) 是一个 \(n\) 维标准布朗运动，即每个分量 \(B_t^{(i)}\) 都是独立的标准布朗运动。

令 \(\mathcal{V}^{m\times n}_{\mathcal{H}}(S,T)\) 为 \(m\times n\) 矩阵 \(v=[v_{i,j}(t,\omega)]\) 构成的集合，其中，每个 \(v_{i,j}\) 满足以上的条件，（联合可测，对某个滤过 \(\mathcal{H_t}\) 适应，\(L^2\) 有界）。

我们定义多维 Ito 积分为 \[ \int_S^T v\, d\mathbf{B}_t = \int_S^T \begin{pmatrix} v_{1,1} & \cdots & v_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{m,1} & \cdots & v_{m,n} \end{pmatrix} \, d\begin{pmatrix} B_t^{(1)} \\ \vdots \\ B_t^{(n)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^n \int_S^T v_{1,j}(t,\omega) \, dB_t^{(j)}(\omega) \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^n \int_S^T v_{m,j}(t,\omega) \, dB_t^{(j)}(\omega) \end{pmatrix} \]

这里的每个分量都是一个一维 Ito 积分。类似地，我们可以定义多维 Ito 积分的等距性质和鞅性质。

1. 等距性质： \[ \mathbb E\left[\left\|\int_S^T v \, d\mathbf{B}_t\right\|^2\right] = \mathbb E\left[\int_S^T \|v(t,\omega)\|_F^2 \, dt\right] \] 其中 \(\|v(t,\omega)\|_F\) 是矩阵 \(v(t,\omega)\) 的 Frobenius 范数，定义为 \[ \|v(t,\omega)\|_F^2 = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |v_{i,j}(t,\omega)|^2. \]

2. 鞅性质： 设 \(M_t = \int_S^t v(t,\omega) \,d\mathbf{B}_t(\omega)\)，则对于 \(s < t\)，有 \[ \mathbb E[M_t | \mathcal{H}_s] = M_s. \]

我们将以上过程构成的空间分别记作 \(\mathcal{W}_{\mathcal{H}}(S,T), \mathcal{W}_{\mathcal{H}}^{m\times n}(S,T)\)，并记 \(\mathcal{W}_{\mathcal{H}} = \bigcup_{T>0} \mathcal{W}_{\mathcal{H}}(0,T)\).

多维情况下的 Ito 引理

考虑 \(X_t = F(t, \mathbf{B}_t)\)，其中 \(b: [0,T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) 是一个向量值函数，\(\sigma: [0,T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n \times m}\) 是一个矩阵值函数，\(F \in C^{1,2}([0,T] \times \mathbb{R}^n)\)。

我们泰勒展开到二阶： \[ \begin{aligned} \Delta F_j &:= F(t_{j+1}, \mathbf{B}_{t_{j+1}}) - F(t_j, \mathbf{B}_{t_j}) \\ &= \frac{\partial F}{\partial t}(t_j, \mathbf{B}_{t_j}) \Delta t_j + \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}(t_j, \mathbf{B}_{t_j}) \Delta B_j^{(i)} + \frac{1}{2} \sum_{i,k=1}^n \frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_k}(t_j, \mathbf{B}_{t_j}) \Delta B_j^{(i)} \Delta B_j^{(k)} + o(\Delta t_j) \end{aligned} \]

如果我们假设 \(\mathbf{B_t}\) 是一个 \(n\) 维标准布朗运动，那么 \(\Delta B_j^{(i)} \Delta B_j^{(k)}\) 的期望为 \(\delta_{ik} \Delta t_j\)，其中 \(\delta_{ik}\) 是 Kronecker delta。因此，在极限下，第二阶项的贡献为 \[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 F}{\partial x_i^2}(t_j, \mathbf{B}_{t_j}) \Delta t_j = \frac{1}{2} \Delta F(t_j, \mathbf{B}_{t_j}) \Delta t_j \] 这里的 \(\Delta F\) 是 \(F\) 关于空间变量的拉普拉斯算子。

因此，多维 Ito 引理的形式为： 设 \(\mathbf{B}_t\) 是一个 \(n\) 维标准布朗运动，\(F: [0,T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是一个 \(C^{1,2}\) 函数，则 \[ dX_t = \frac{\partial F}{\partial t}(t, \mathbf{B}_t) dt + \nabla_x F(t, \mathbf{B}_t) \cdot d\mathbf{B}_t + \frac{1}{2} \Delta F(t, \mathbf{B}_t) dt. \]

如果 \(\mathbf{B}_t\) 不是标准布朗运动，而是 \(m\) 维标准布朗运动乘上扩散系数 \(\Sigma(t)\in \mathbb R^{n\times m}\)。也就是说 \(\mathbb{E}[\Delta B_j \Delta B_j^T] = \Sigma\Sigma^T(t_j) \Delta t_j\)，则第二阶项的变为 \[ \frac{1}{2} \sum_{i,k=1}^n \partial_{i,k} F \Sigma\Sigma^T_{ik}(t_j) dt \]

进一步地，如果 \(X_t = F(t, Y_t)\)，其中 \(Y_t\) 满足 \[ dY_t = \mathbf{b}(t, Y_t) dt + \Sigma(t, Y_t) d\mathbf{B}_t, \] 这里的 \(\mathbf{B}_t\) 是一个 \(m\) 维标准布朗运动，\(\Sigma(t, Y_t)\) 是一个 \(n \times m\) 的矩阵，那么根据 Ito 引理， 则 \[ \begin{aligned} dX_t &= \frac{\partial F}{\partial t}dt + \nabla F \cdot dY_t + \frac{1}{2} \sum_{i,k=1}^n \partial_{i,k} F \Sigma\Sigma^T_{ik} dt \\ &= \left( \frac{\partial F}{\partial t}+ \nabla F \cdot \mathbf{b} + \frac{1}{2} \sum_{i,k=1}^n \partial_{i,k} F \Sigma\Sigma^T_{ik} \right) dt + \nabla F \cdot \Sigma\, d\mathbf{B}_t \end{aligned} \]

与 Stratonovich 积分的比较

回顾之前所作的，我们可以给这样的一个随机微分方程 \[ \frac{d X}{dt} = b(t, X_t) + \sigma(t, X_t) \cdot W_t \] 在 Ito 积分框架下一个合理的解： \[ X_t = X_0 + \int_0^t b(s, X_s) \, ds + \int_0^t \sigma(s, X_s) dB_s \] 其中 \(W_t\) 是某种“白噪声”（看作布朗运动的“导数”）。

Ito 积分的意义是，考虑简单过程 \(\phi_n\) 逼近 \(\sigma(t, X_t)\)，\(L_t = \int_0^t \sigma(s, X_s) dB_s\) 就是 \(\int_0^t \phi_n(s) dB_s\) 的 \(L^2\) 极限。

也就是认为 \(\sigma(t, X_t)\) 在每个时间点 \(t\) 的取值在极小时间内保持不变并且等于左侧点的取值，然后考虑布朗运动的波动的影响并求和汇总。等距公式告诉我们，\(L_t\) 的方差是 \(\int_0^t \sigma(s, X_s)^2 ds\)。

这里取左侧点和其他点会得到不同的结果是因为布朗运动的增量可能与 \(\sigma(t, X_t)\) 的取值相关联了，而 Ito 积分保证了这个增量独立于 \(\sigma(t, X_t)\) 的取值，也就是鞅性质的体现。

这个关联项，由上面的 Ito 引理的展开分析，我们大致知道，它意味着某种额外的漂移项的出现，对应结果中 \(B_t\) 的二阶影响。

现在我们来严格分析，从这样的一个展开式出发。 \[ \sum_j \Delta F_j \approx \sum_j \frac{\partial F}{\partial x}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta B_j + \frac{1}{2} \sum_j \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t_j, B_{t_j}, \omega) (\Delta B_j)^2 + \sum_j \frac{\partial F}{\partial t}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta t_j \] 我们假设有 \(\frac{\partial F}{\partial x}(t_j, B_{t_j}, \omega) = \sigma(t_j, X_{t_j})\)，则第一项就是我们定义的 Ito 积分的近似表达式。

这个告诉我们什么？首先 \(F\) 的增量可以分成两部分，一部分关于时间的增量，另一部分关于空间（布朗运动）增量的影响。对于时间的响应，我们只需要考虑一阶就足以在分割趋于零时得到正确的结果；但是对于空间的响应，如果只取左侧点并求和，就需要额外考虑一个二阶项，才能在分割趋于零时得到正确的结果。

但这样的一个二阶项展开，实际上就等价于我们使用导数在区间中点的取值了（误差一个三阶项会消失）。如果我们在定义积分时，取 \(\sigma(t, X_t)\) 在区间 \([t_j, t_{j+1}]\) 的中点处的取值，那么这个二阶项就会自然地被包含在内。

所以，我们有以下结论： \[ \sum_j \Delta F_j \approx \sum_j \sigma\left(\frac{t_j + t_{j+1}}{2}, X_{\frac{t_j + t_{j+1}}{2}}\right) \Delta B_j + \sum_j \frac{\partial F}{\partial t}(t_j, B_{t_j}, \omega) \Delta t_j \] 而Stratonovich 积分按定义就是： \[ \int_0^t \sigma(s, X_s) \circ dB_s = \lim_{n \to \infty} \sum_j \sigma\left(\frac{t_j + t_{j+1}}{2}, X_{\frac{t_j + t_{j+1}}{2}}\right) (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}), \] 那从微分的角度，我们简洁地有： \[ dX_t = b(t, X_t) dt + \sigma(t, X_t) \circ dB_t \] 因此，Stratonovich 积分的定义方式使得它在微分形式上与普通微积分的链式法则保持一致，而 Ito 积分则需要额外的二阶项来修正。

利用以下公式，我们可以在 Ito 积分和 Stratonovich 积分之间进行转换： \[ \sigma(t, X_t) \circ dB_t = \sigma(t, X_t) dB_t + \frac{1}{2} \sigma(t, X_t) \frac{\partial \sigma}{\partial x}(t, X_t) dt \]

而如果考虑一列 \(t\)-可微的随机过程 \(B_t^{(n)}\)，使得 \(B_t^{(n)}\) 在 \(L^2\) 意义下一致收敛到 \(B_t\)。 则，以上的随机微分方程变为 \[ \frac{d X^{(n)}}{dt} = b(t, X_t^{(n)}) + \sigma(t, X_t^{(n)}) \cdot \frac{dB_t^{(n)}}{dt} \] 它的解满足以下的积分方程： \[ X_t^{(n)} = X_0 + \int_0^t b(s, X_s^{(n)}) \, ds + \int_0^t \sigma(s, X_s^{(n)}) \cdot \frac{dB_s^{(n)}}{ds} ds \]

存在唯一性，也许可以通过 Banach 不动点定理来证明，但是问了问 AI 感觉证明需要各种不等式估计，就算了。

如果 \(B_t^{(n)}\) 是 \(B_t\) 的某种平滑近似，那么 \(\int_0^t \sigma(s, X_s^{(n)}) \cdot \frac{dB_s^{(n)}}{ds} ds\) 就是一个普通的 Riemann 积分。众所周知，黎曼积分取中点是作为二阶近似的。因此，随着 \(n \to \infty\)，取中点的黎曼积分会收敛到 Stratonovich 积分 \(\int_0^t \sigma(s, X_s) \circ dB_s\)，取左侧的黎曼积分则收敛到 Ito 积分 \(\int_0^t \sigma(s, X_s) dB_s\)。

然后在不动点迭代的过程中，最后收敛的结果是 Stratonovich 积分的解。具体的收敛性证明可以查阅 Wong-Zakai 定理。这里确实也很神奇。

练习

学而不练就完蛋了，接下来是练习环节。

3.1. 用 Ito 积分的定义，证明以下的等式： \[ \int_0^t s dB_s = t B_t - \int_0^t B_s ds \]

3.2 按定义证明： \[ \int_0^t B_s^2 dB_s = \frac{1}{3} B_t^3 - \int_0^t B_s ds \]

3.3 \(X_t: \Omega \to \mathbb{R}^n\) 是一个随机过程，\(\mathcal{H}_t\) 是其生成的滤过（\(\sigma\)-代数）。试解决以下问题：

1. 如果 \(X_t\) 是关于某个滤过 \(\mathcal{N}_t\) 的鞅，那么 \(X_t\) 也是关于 \(\mathcal{H}_t\) 的鞅。
2. 如果 \(X_t\) 是关于 \(\mathcal{H}_t\) 的鞅，那么 \(\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}[X_0], \forall t\geq 0\)。
3. 举出一例 \(X_t\) 满足 (2) 但不是关于 \(\mathcal{H}_t\) 的鞅。

3.4 检查以下的过程是否是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅：

1. \(X_t = B_t + 4t\)
2. \(X_t = B_t^2\)
3. \(X_t = t^2 B_t - 2 \int_0^t s B_s ds\)
4. \(X_t = B_1(t) B_2(t)\)，其中 \((B_1(t), B_2(t))\) 是一个二维布朗运动。

3.5 证明 \(M_t = B_t^2 - t\) 是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅。

3.6 证明 \(N_t = B_t^3 - 3t B_t\) 是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅。

3.7 我们有以下的等式： \[ n! \int \cdots \int_{0 < t_1 < \cdots < t_n < t} dB_{t_1} \cdots dB_{t_n} = H_n\left(\frac{B_t}{\sqrt{t}}\right) t^{\frac{n}{2}} \] 其中 \(H_n(x)\) 是第 \(n\) 个 Hermite 多项式，定义为 \[ H_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2}} \frac{d^n}{dx^n} e^{-\frac{x^2}{2}};\quad n = 0, 1, 2, \ldots \]

1. 验证这些 Ito 积分是良定义的。（即满足联合可测性，适应性，\(L^2\) 有界等条件）
2. 验证公式对于 \(n=1,2,3\) 的情况是成立的。
3. 寻找一个递归关系来证明这个等式对于任意 \(n\) 都是成立的。
4. 利用其证明 3.6

解答

3.1

还是展示一下直接使用 Ito 引理来证明这个等式，为了利用 Ito 引理，令 \[ \frac{\partial F}{\partial x}(t,x) = t \implies F(t,x) = t x - G(t) \] 取 \(G(t) = 0\)，则 \(F(t,x) = t x\)。根据 Ito 引理，我们有 \[ dF(t, B_t) = B_t dt + t dB_t \] 因此， \[ \int_0^t s dB_s = F(t, B_t) - F(0, B_0) - \int_0^t B_s ds = t B_t - \int_0^t B_s ds \]

直接按照定义来证明需要我们用简单过程切片分段逼近 \(s\)，例如 \(\phi_n(s) = \sum_{j=0}^{n-1} t_j \mathbf{1}_{[t_j, t_{j+1})}(s)\)，其中 \(t_j = \frac{j}{n} t\)，则 \[ \int_0^t s dB_s = \lim_{n \to \infty} \sum_{j=0}^{n-1} t_j (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) \]

回顾求和的 Abel 转换：

对于 \(\sum_{j=0}^{n} \Delta A_j b_j\)，\(a_j = \Delta A_j = A_{j+1} - A_j\)，我们有 \[ \sum_{j=0}^{n} \Delta A_j b_j = A_{n+1} b_n - A_0 b_0 - \sum_{j=1}^{n} A_{j} \Delta b_{j-1} \]

这里 \(b_j=t_j\)，\(A_j = B_{t_j}\)，则 \[ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{n-1} t_j \Delta B_j &= t_{n-1} B_{t_{n}} - t_0 B_{t_0} - \sum_{j=1}^{n-1} B_{t_j} \Delta t_{j-1} \\ &= t B_{t} - \sum_{j=1}^{n-1} B_{t_j} \Delta t_{j-1} \end{aligned} \] 而 \(n \to \infty\) 时，\(\sum_{j=1}^{n-1} B_{t_j} \Delta t_{j-1}\) 就是 \(\int_0^t B_s ds\) 的右端 Riemann 和的近似（或者取右端点的简单过程逼近 \(B_s\)，在 Lebesgue 积分的意义下也是成立的），因此 \[ \int_0^t s dB_s = \lim_{n \to \infty} \sum_{j=0}^{n-1} t_j (B_{t_{j+1}} - B_{t_j}) = t B_t - \int_0^t B_s ds \]

3.2

同样地，我们先使用 Ito 引理来证明这个等式。令 \[ \frac{\partial F}{\partial x}(t,x) = x^2 \implies F(t,x) = \frac{1}{3} x^3 - G(t) \] 取 \(G(t) = 0\)，则 \(F(t,x) = \frac{1}{3} x^3\)。根据 Ito 引理，我们有 \[ dF(t, B_t) = B_t dt + B_t^2 dB_t \] 因此， \[ \int_0^t B_s^2 dB_s = F(t, B_t) - F(0, B_0) - \int_0^t B_s ds = \frac{1}{3} B_t^3 - \int_0^t B_s ds \]

按定义证明：我们取 \(\phi_n(t,\omega) = \sum_{j=0}^{n-1} B_{t_j}^2 \mathbf{1}_{[t_j, t_{j+1})}(s)\)，其中 \(t_j = \frac{j}{n} t\)。 考虑 \(B_{j+1}^3 - B_j^3 = (B_{j+1} - B_j)^3 + 3 B_j^2 (B_{j+1} - B_j) + 3 B_j (B_{j+1} - B_j)^2\)，则 \[ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{n-1} B_{t_j}^2 \Delta B_j &= \frac{1}{3} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}}^3 - B_{t_j}^3) - \frac{1}{3} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^3 - \sum_{j=0}^{n-1} B_{t_j} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2 \\ &= \frac{1}{3} B_t^3 - \frac{1}{3} \sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^3 - \sum_{j=0}^{n-1} B_{t_j} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2 \end{aligned} \] 不难证明 \(\sum_{j=0}^{n-1} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^3\) 在 \(L^2\) 意义下收敛到 0。而 \(\sum_{j=0}^{n-1} B_{t_j} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2\) 在 \(L^2\) 意义下收敛到 \(\int_0^t B_s ds\)。

3.3

1. 如果 \(X_t\) 是关于某个滤过 \(\mathcal{N}_t\) 的鞅，那么对于 \(s < t\)，有 \[\mathbb{E}[X_t | \mathcal{N}_s] = X_s.\] 由于 \(\mathcal{H}_s \subseteq \mathcal{N}_s\)，根据全期望公式，我们有\[\mathbb{E}[X_t | \mathcal{H}_s] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X_t | \mathcal{N}_s] | \mathcal{H}_s] = \mathbb{E}[X_s | \mathcal{H}_s] = X_s.\] 因此，\(X_t\) 也是关于 \(\mathcal{H}_t\) 的鞅。 我们理解为，一个随机过程如果在一个大信息集合下是鞅，那么在一个子信息集合下也是鞅。而 \(X_t\) 本身生成的滤过是最小的满足适应性的滤过。
2. 如果 \(X_t\) 是关于 \(\mathcal{H}_t\) 的鞅，我们知道 \(\mathbb{E}[X_t | \mathcal{H}_0] = X_0\)。然后根据全期望公式，\(\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X_t | \mathcal{H}_0]] = \mathbb{E}[X_0]\)。
3. 考虑 \(X_t = B_t^3\)，其中 \(B_t\) 是一个标准布朗运动。不难知道 \(B_t^3\) 的无条件期望为 0。利用 Ito 引理，\(dB_t^3 = 3 B_t^2 dB_t + 3 B_t dt\)，因此它不是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅。

3.4

1. \(X_t = B_t + 4t\)，考虑 \(s<t\)，则 \[\mathbb{E}[X_t | \mathcal{F}_s] = \mathbb{E}[B_t | \mathcal{F}_s] + 4t = B_s + 4t \neq X_s = B_s + 4s.\] 因此，\(X_t\) 不是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅。

2. \(X_t = B_t^2\)，类似地，\[ \mathbb E[X_t |\mathcal{F_s}]=\mathbb{E}[(B_t-B_s)^2 + B_s^2 + 2(B_t-B_s)B_s | \mathcal {F_s}] = (t-s) + B_s^2\] 因此，不是关于 \(\mathcal{F_t}\) 的鞅

3. \(X_t = t^2 B_t - 2 \int_0^t s B_s ds\). 计算 \(X\) 的微分 \[ dX_t = 2t B_t dt + t^2 dB_t - 2 t B_t dt = t^2 dB_t \] 因此，\(X_t = \int_0^t s^2 dB_s\) 是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅（Ito 积分的鞅性质）。这告诉我们一个判断随机过程是否是鞅的技巧：如果它可以表示为一个 Ito 积分，那么它就是一个鞅。（其微分只含有 \(dB_t\) 项）

4. 对于这样的一个二维布朗运动 \((B_1(t), B_2(t))\)，它对应的滤过 \(\mathcal{F}_t\) 是由 \(B_1(s), B_2(s)\) 生成的 \(\sigma\)-代数，\(s \leq t\)。计算 \(\mathbb{E}[X_t | \mathcal{F}_s]\)，我们有\[ \begin{aligned}\mathbb{E}[B_1(t) B_2(t) | \mathcal{F}_s] &= \mathbb{E}[(B_1(t) - B_1(s) + B_1(s))(B_2(t) - B_2(s) + B_2(s)) | \mathcal{F}_s] \\ &= \underbrace{\mathbb{E}[(B_1(t) - B_1(s))(B_2(t) - B_2(s)) | \mathcal{F}_s]}_{互相独立，协方差为0} + \mathbb{E}[(B_1(t) - B_1(s)) B_2(s) | \mathcal{F}_s] + \mathbb{E}[B_1(s) (B_2(t) - B_2(s)) | \mathcal{F}_s] + B_1(s) B_2(s) \\ &= B_1(s) B_2(s) \end{aligned} \] 因此，\(X_t\) 是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅。 或者也可以直接计算 \(dX_t\)，\[dX_t = B_1(t) dB_2(t) + B_2(t) dB_1(t) \] 由于 \(B_1(t)\) 和 \(B_2(t)\) 是独立的布朗运动，因此 \(dX_t\) 中没有 \(dt\) 项，只有 \(dB_t\) 项，这说明 \(X_t\) 是一个鞅。

3.5 计算 \[ dM_t = 2 B_t dB_t + (dB_t)^2 - dt = 2 B_t dB_t \]

因此，\(M_t\) 是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅。

3.6 计算 \[ dN_t = - 3 B_t dt + 3 B_t^2 dB_t + 3 B_t dt = 3 B_t^2 dB_t \] 因此，\(N_t\) 是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的鞅。

3.7 最内层 \[ \int_0^{u_1} d B_{t_1} = B_{u_1} \] 第二层 \[ \int_0^{u_2} B_{t_2} d B_{t_2} = \frac{1}{2} B_{u_2}^2 - \frac{1}{2} u_2 \] 第三层 \[ \int_0^{u_3} \left( \frac{1}{2} B_{t_3}^2 - \frac{1}{2} t_3 \right) d B_{t_3} \] 按照上面的计算方法，\(f(t,y) = \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2} t\)。 下一层新的函数 \(F\) \[ F(t,y) = \int_0^t f(s,y) ds - G(t) \] \[ G(t) = \int_0^t \left(\int_0^s \frac{\partial f}{\partial t}(s, B_s) ds + \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(s, B_s) \right) ds. \]